大纲#
Part 1#
邻域系 $\mathcal{N}(x)$ Kuratowski 闭包公理 导集 完全集 子基 局部基
积拓扑与盒拓扑 $\mathscr{S}={p^{-1}_\lambda(U_\lambda)|U_\lambda\in \mathscr{S}_\lambda,\lambda\in \Lambda }$ 有向集 网的收敛 $\forall x \in \bar{A},\ \exist {x_\alpha|\alpha\in D}\rightarrow x$
可数公理 分离公理 ($C_1$: 序列 ex. 度量；$C_2$: 可分 ex. 可分度量) ($T_1$: 单点闭；$T_2$: 网收敛于同一点；$T_4$: ex. 度量)
正规空间与 Urysohn 引理、Tietze 扩张 (闭集)
Tychonoff 定理 (管状邻域引理、Lebesgue 覆盖引理)
可数紧 Lindelof 空间 ($C_2\Rightarrow$) 列紧 ($C_1$+可数紧) 聚点紧 (+$T_1\Rightarrow$ 可数紧) (Bolzano-Weierstrass 定理)
完全有界 (+闭, 度量: 紧) 完备度量空间 (Cauchy 序列) 单点紧化 (局部紧$T_2\rightarrow$ 紧$T_2$)
(紧: 极值、一致连续、交性质；连通：介值；局部连通：开集分支开) ($T_2$+紧: $T_4$；$T_2$+局部紧: $T_3$)
Urysohn 度量化定理 ($C_2+T_3\Rightarrow T_4$) (Hilbert 方体) Nagata-Smirnov 度量化定理 ($\sigma$-局部有限)
单位分解 仿紧 流形的嵌入 函数空间 (点态收敛拓扑、紧开拓扑) $Y^X=\prod\limits_{x\in X} Y_x = {f:X\rightarrow \bigcup\limits_{x\in X}Y_x| f(x)\in Y_x=Y }$
Part 2#
收缩核 形变收缩核 强形变收缩核
度数 $\deg \sigma=\tilde{\sigma}(1),\ \sigma\in \Omega(S^1,1)$ 代数基本定理的证明、Brouwer 不动点定理的证明
底空间 基本邻域 覆盖射影 叶/层数 $\lvert p^{-1}(b)\rvert$
覆盖道路性质、覆盖同伦性质与映射提升定理 $\exist \text{ cont.}f,\ p\tilde{f}=f \Leftrightarrow f_*\pi_1(X,x_0)\subset p_*\pi_1(E,e_0)$
子群共轭类 (示性类) $\{p_*\pi_1(E,e)|e\in p^{-1}(b_0) \}$ 覆盖同构 $p_2h=p_1$ 分类定理
(半局部连通 $\Rightarrow$) 存在性定理 $H\subset \pi_1(B,b_0),\ \exist E,\ p:E\rightarrow B,\text{ s.t. }e_0\in p^{-1}(b_0),\ p_*(\pi_1(E,e_0))=H$
万有覆盖空间 (任何覆盖空间的正则覆盖) $\{0\}$ 覆盖变换群 (自同构群) $A(E,p)\cong \pi_1(B,b_0)/p_*\pi_1(E,e_0)$
$$ \Large \begin{CD} X @> \tilde{f} >> E \\ @| @ VV{p\ (p_*\text{ inj.})}V\\ X @>> f > B \end{CD} $$
笔记#
书目：
- Armstrong
- 尤承业
- 李元熹
- Munkres