假设某界面上下有四束平面电磁波，介质 1 中入射与出射电磁波为 $\vec{E}_{1}, \vec{E}_{1}^{\prime}$，介质 2 中入射与出射电磁波为 $\vec{E}_{2}, \vec{E}_{2}^{\prime}$。
$$ \begin{array}{l} \vec{E}_{1} = \mathrm{Re}{( \vec{E}_{1} e^{ i \vec{k}_{1} \cdot \vec{r} - i \omega t } )} \\ \vec{E}_{1}^{\prime} = \mathrm{Re}{( \vec{E}_{1}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{1}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t } )} \\ \vec{E}_{2} = \mathrm{Re}{( \vec{E}_{2} e^{ i \vec{k}_{2} \cdot \vec{r} - i \omega t } )} \\ \vec{E}_{2}^{\prime} = \mathrm{Re}{( \vec{E}_{2}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{2}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t } )} \end{array} $$
简单起见，以下忽略 $\mathrm{Re}$ 与 $\vec{E}$。当反向传播时采用 $\bar{E}$ 作为记号，当 $\bar{E}_{i}^{\prime} = E_{i}$ 时，$\bar{E}_{i} = E_{i}^{\prime}$。界面处的振幅反射率与振幅折射率定义为
$$ \begin{array}{l} r_{1} = \frac{E_{1}^{\prime}}{E_{1}} & E_{2} = 0 \\ t_{1} = \frac{E_{2}^{\prime}}{E_{1}} & E_{2} = 0 \\ r_{2} = \frac{E_{2}^{\prime}}{E_{2}} & E_{1} = 0 \\ t_{2} = \frac{E_{1}^{\prime}}{E_{2}} & E_{1} = 0 \end{array} $$
如果界面上的反射与折射源于上下折射率的不同，相位偏移来源于 Maxwell 方程组，则满足
$$ \begin{array}{l} r_{1} + r_{2} = 0 \\ r_{1}^{2} + t_{1} t_{2} = 1 \end{array} $$
如果表示介质板的等效反射与折射系数，相位偏移源于介质板内部的光程差，则满足
$$ \begin{array}{l} r_{1} r_{1}^{*} + t_{1}^{*} t_{2} = 1 \\ r_{1}^{*} t_{1} + r_{2} t_{1}^{*} = 0 \end{array} $$
介质交界面处的等效系数#
以 s 光为例，Maxwell 方程组的边界条件为
$$ \begin{array}{l} \varepsilon_{r1} \cdot 0 = \varepsilon_{r2} \cdot 0 \\ E_{1s} + E_{1s}^{\prime} = E_{2s} + E_{2s}^{\prime} \\ B_{1s} \sin \theta_{1} + B_{1s}^{\prime} \sin \theta_{1}^{\prime} = B_{2s} \sin \theta_{2} + B_{2s}^{\prime} \sin \theta_{2}^{\prime} \\ B_{1s} \cos \theta_{1} - B_{1s}^{\prime} \cos \theta_{1}^{\prime} = B_{2s} \cos \theta_{2} + B_{2s}^{\prime} \cos \theta_{2}^{\prime} \\ k_{1} E_{1} = \omega B_{1} \quad k_{1} E_{1}^{\prime} = \omega B_{1}^{\prime} \quad k_{1} = \sqrt{\varepsilon_{r1}} \frac{\omega}{c} \\ k_{2} E_{2} = \omega B_{2} \quad k_{2} E_{2}^{\prime} = \omega B_{2}^{\prime} \quad k_{2} = \sqrt{\varepsilon_{r2}} \frac{\omega}{c} \end{array} $$
则考虑 $t = 0$ 时刻空间中的电磁波，令所有的 $k$ 反向，所有的 $B$ 反向，则所有的 $E$ 不变，上述方程依旧成立。注意上两张图中的 $E_{1}$ 未必相等，而是由 Maxwell 方程组保证可能出现相等的情况。介质表面只有两个自由度（只有两束光是能任意选择大小的）。
介质板的等效系数#
介质板的相位偏移来源于内部光程，以介质薄膜为例，$E_{2} = 0$时
$$ \begin{array}{l} E_{1}^{\prime} = E_{1} ( r + t r^{\prime} t^{\prime} e^{i \Delta \varphi} ( \sum_{j = 0}^{\infty} [ r^{\prime 2} e^{i \Delta \varphi}]^{j} ) ) \\ E_{2}^{\prime} = E_{1} ( t t^{\prime} e^{i \Delta \varphi^{\prime}} \sum_{j = 0}^{\infty} [ r^{\prime 2} e^{i \Delta \varphi}]^{j} ) \\ \end{array} $$
则考虑 $t = 0$ 时刻空间中的电磁波，令所有的 $k$ 反向，所有的 $B$ 反向，则所有的 $E$ 不变。由于光线反向传播所有的 $\Delta \varphi$ 反号，$r, t, r^{\prime}, t^{\prime}$ 为实数，因此新的 $\bar{E}_{1}, \bar{E}_{1}^{\prime}, \bar{E}_{2}, \bar{E}_{2}^{\prime}$ 满足原本 $E_{1}^{*}, E_{1}^{\prime *}, E_{2}^{*}, E_{2}^{\prime *}$ 间的关系。
构造#
假设初始只有 $E_{1} = 1$ 入射，产生了 $E_{1}^{\prime} = r_{1}, E_{2}^{\prime} = t_{1}$。
对于两介质分界面，
- 构造 $\bar{E}_{1}^{\prime} = r_{1}$，产生 $\bar{E}_{1} = r_{1}^{2}, \bar{E}_{2} = r_{1} t_{1}$。将光线反向，振幅不变。
- 再构造 $E_{2}^{\prime} = t_{1}$，类似有 $E_{1} = t_{1} t_{2}, E_{2} = t_{1} r_{2}$。这两种情况叠加即为初始情况。
$$ \begin{array}{l} r_{1}^{2} + t_{1} t_{2} = 1 \\ r_{1} t_{1} + t_{1} r_{2} = 0 \end{array} $$
对于介质板的等效系数
- 构造 $\bar{E}_{1}^{\prime} = r_{1}^{*}$，则出射光为 $\bar{E}_{1} = r_{1}^{*} r_{1}, \bar{E}_{2} = r_{1}^{*} t_{1}$。反向后为 $E_{1}^{\prime} = r_{1}, E_{1} = r_{1} r_{1}^{*}, E_{2} = r_{1} t_{1}^{*}$。
- 类似构造 $E_{2}^{\prime} = t_{1}, E_{1} = t_{1} t_{2}^{*}, E_{2} = t_{1} r_{2}^{*}$。
$$ \begin{array}{l} r_{1} r_{1}^{*} + t_{1} t_{2}^{*} = 1 \\ r_{1} t_{1}^{*} + t_{1} r_{2}^{*} = 0 \end{array} $$
以下命题成立#
反向的两束光线的电场矢量和磁场矢量无法同时相消。
对于介质交界面，如果允许存在 $E_{1} e^{ i \vec{k}_{1} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{1}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{1}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2} e^{ i \vec{k}_{2} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{2}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }$，则允许存在 $E_{1} e^{ - i \vec{k}_{1} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{1}^{\prime} e^{ - i \vec{k}_{1}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2} e^{ - i \vec{k}_{2} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2}^{\prime} e^{ - i \vec{k}_{2}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }$。
对于介质板，如果允许存在 $E_{1} e^{ i \vec{k}_{1} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{1}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{1}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2} e^{ i \vec{k}_{2} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2}^{\prime} e^{ i \vec{k}_{2}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }$，则允许存在 $E_{1}^{*} e^{ - i \vec{k}_{1} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{1}^{\prime *} e^{ - i \vec{k}_{1}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2}^{*} e^{ - i \vec{k}_{2} \cdot \vec{r} - i \omega t }, E_{2}^{\prime *} e^{ - i \vec{k}_{2}^{\prime} \cdot \vec{r} - i \omega t }$。